Das Potenzdreieck

Nicht nur wegen seiner dreieckigen Form und dem Umstand, dass es nach unten beliebig fortgesetzt werden kann, erinnert das Potenzdreieck
\[ \frac{1}{1} \] \[ \frac{1}{2}\qquad\frac{1}{2} \] \[ \frac{1}{3}\qquad\frac{1}{2}\qquad\frac{1}{6 } \] \[ \frac{1}{4}\qquad\frac{1}{2}\qquad\frac{1}{4 }\qquad\frac{0}{1} \] \[ \frac{1}{5}\qquad\frac{1}{2}\qquad\frac{1}{3 }\qquad\frac{0}{1}\qquad\frac{-1}{30} \] \[ \frac{1}{6}\qquad\frac{1}{2}\qquad\frac{5}{12}\qquad\frac{0}{1}\qquad\frac{-1}{12}\qquad\frac{0}{1} \] \[ \frac{1}{7}\qquad\frac{1}{2}\qquad\frac{1}{2 }\qquad\frac{0}{1}\qquad\frac{-1}{6 }\qquad\frac{0}{1}\qquad\frac{-1}{42} \] \[ ... \]
optisch an ein Pascalsches Dreieck. Es sind auch die Binomialkoeffizienten bei der Berechnung der Elemente des Potenzdreiecks von zentraler Bedeutung. In der Zeile addieren sich die Elemente im Pascalschen Dreieck zu 2^n, im Potenzdreieck zu eins.

Eine wichtige Gemeinsamkeit der beiden Dreiecke ist zudem die Eigenschaft, dass jede Zeile eine Folge von Koeffizienten liefert, die in den zugehörigen Summenformeln benötigt werden. Die Pascalschen Zahlen ak gehen ein in die Formel

\[ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n{a_k x^{n-k} y^k} \qquad\text{mit}\quad a_k = \binom{n}{k} \]
Die Zahlen ak des Potenzdreiecks werden in der Summenformel für die Potenzen der natürlichen Zahlen mit nichtnegativ-ganzzahligem Exponenten benötigt.
$$ \sum_{i=1}^n i^e = \sum_{k=0}^e a_k{n^{e-k+1}} \qquad\text{mit}\quad a_k = \frac{\binom{e}{k} - \sum_{m=0}^{k-1}a_m\binom{e+1-m}{k+1-m}}{e+1-k} $$
Die rechte Kante des Potenzdreiecks liefert die Bernoullizahlen (zweiter Art mit B[1]=+1/2) !

Bn
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1/ 1 1/ 2 1/ 6 0/ 1 -1/30 0/ 1 1/42 0/1 -1/30 0/1 5/66 0/1 -691/2730
Hier der Beweis: potenz.pdf

Es soll auf einen Artikel von Tobias Krähling hingewiesen werden, der zeigt, wie in seiner Tabelle 1 bei mit Bernoullizahlen vorbesetzer erster Spalte jedes Element aus der schräg links darüber stehenden Zahl durch Multiplizieren mit k/j berechnet werden kann. Krählings Tabelle ist gegenüber dem Potenzdreieck gespiegelt. Seine Formel für die Berechnung der Koeffizienten wurde daher im Folgenden entsprechend angepasst. \[ a_{z,s} = a_{z-1,s} \frac{z}{z-s+1} \]

Das erinnert daran, wie im Pascaldreieck eine beliebige Nichtrand-zahl aus der Summe der beiden darüber liegenden Zahlen berechnet werden kann.

Potenzdreieck linksbündig
Spalte s
Zeile 0 1 2 3 4
0 1/1
1 1/2 1/2
2 1/3 1/2 1/6
3 1/4 1/2 1/4 0/1
4 1/5 1/2 1/3 0/1 -1/30
Die Diagonale mit s=z muss mit den Bernoullizahlen vorbesetzt sein. Dann kann jedes Element a_{z,s} aus dem darüber stehemdem a{z-1,s} durch Multiplizieren mit z/z-s+1 berechnet werden.
Beispiel: a_{4,2} = a_{3,2} mal 4/4-2+1
1/3 = 1/4 mal 4/4-2+1

Hier wird gezeigt, wie man mit Recapis rationale Zahlen verwenden, das Summen-Sigma als Funktion darstellen und Tabellen für HTML oder TEX erzeugen kann.